Korrutamise kombinatiivsed ja distributiivsed omadused. Naturaalarvude liitmise omadused Märkige liitmise ja korrutamise kombinatsioon

Võib märkida mitmeid sellele tegevusele omaseid tulemusi. Neid tulemusi nimetatakse naturaalarvude liitmise omadused. Selles artiklis analüüsime üksikasjalikult naturaalarvude lisamise omadusi, kirjutame need tähtede abil ja anname selgitavaid näiteid.

Leheküljel navigeerimine.

Naturaalarvude liitmise kombineeritud omadus.

Toome nüüd näite, mis illustreerib naturaalarvude liitmise assotsiatiivset omadust.

Kujutagem ette olukorda: esimesest õunapuust kukkus alla 1 õun ja teiselt õunapuult 2 õuna ja veel 4 õuna. Mõelge nüüd sellele olukorrale: esimesest õunapuust kukkus 1 õun ja veel 2 õuna ning teiselt õunapuult 4 õuna. Selge on see, et nii esimesel kui ka teisel juhul on maas sama palju õunu (seda saab kontrollida ümberarvutamisega). See tähendab, et arvude 2 ja 4 summaga arvu 1 liitmise tulemus on võrdne arvude 1 ja 2 summa liitmise tulemusega numbriga 4.

Vaadeldav näide võimaldab sõnastada naturaalarvude liitmise kombinatoorse omaduse: selleks, et lisada antud arvule antud kahe arvu summa, saame sellele arvule liita antud summa esimese liikme ja liita numbri teise liikme. saadud tulemusele antud summa. Selle omaduse saab kirjutada selliste tähtedega: a+(b+c)=(a+b)+c, kus a, b ja c on suvalised naturaalarvud.

Pange tähele, et võrdus a+(b+c)=(a+b)+c sisaldab sulgusid “(” ja “)”. Avaldistes kasutatakse sulgusid, mis näitavad toimingute sooritamise järjekorda - sulgudes olevad toimingud sooritatakse enne (sellest on pikemalt kirjutatud jaotises). Teisisõnu, avaldised, mille väärtusi hinnatakse esimesena, pannakse sulgudesse.

Selle lõigu kokkuvõtteks märgime, et liitmise kombinatoorne omadus võimaldab meil üheselt määrata kolme, nelja või enama naturaalarvu liitmise.

Nulli ja naturaalarvu liitmise omadus, nulli ja nulli liitmise omadus.

Teame, et null EI OLE naturaalarv. Miks me siis otsustasime selles artiklis vaadata nulli ja naturaalarvu liitmise omadust? Sellel on kolm põhjust. Esiteks: seda omadust kasutatakse naturaalarvude lisamisel veergu. Teiseks: seda omadust kasutatakse naturaalarvude lahutamisel. Kolmandaks: kui eeldada, et null tähendab millegi puudumist, siis nulli ja naturaalarvu liitmise tähendus langeb kokku kahe naturaalarvu liitmise tähendusega.

Viige läbi mõni arutluskäik, mis aitab sõnastada nulli ja naturaalarvu liitmise omadust. Kujutame ette, et kastis pole objekte (teisisõnu, kastis on 0 objekti) ja sinna on paigutatud objektid, kus a on suvaline naturaalarv. See tähendab, et lisasime 0 ja a objektid. On selge, et pärast seda toimingut on kastis objekt. Seetõttu on võrdus 0+a=a tõene.

Samamoodi, kui kastis on üksused ja sinna on lisatud 0 üksust (st üksusi ei lisata), siis pärast seda toimingut on kastis üksus. Seega a+0=a .

Nüüd saame anda nulli ja naturaalarvu liitmise omaduse formuleeringu: kahe arvu summa, millest üks on null, on võrdne teise arvuga. Matemaatiliselt saab selle omaduse kirjutada järgmise võrdsusena: 0+a=a või a+0=a, kus a on suvaline naturaalarv.

Eraldi pöörame tähelepanu sellele, et naturaalarvu ja nulli liitmisel jääb tõeseks liitmise kommutatiivne omadus ehk a+0=0+a.

Lõpuks sõnastame nulli nulli liitmise omaduse (see on üsna ilmne ega vaja täiendavaid kommentaare): kahe arvu summa, millest igaüks on võrdne nulliga, on võrdne nulliga. See on, 0+0=0 .

Nüüd on aeg välja mõelda, kuidas naturaalarvu liita.

Bibliograafia.

• Matemaatika. Üldharidusasutuste 1., 2., 3., 4. klassi mis tahes õpikud.
• Matemaatika. Suvalised õpikud üldharidusasutuste 5. klassile.

Oleme määratlenud täisarvude liitmise, korrutamise, lahutamise ja jagamise. Nendel toimingutel (toimingutel) on mitmeid iseloomulikke tulemusi, mida nimetatakse omadusteks. Selles artiklis vaatleme täisarvude liitmise ja korrutamise põhiomadusi, millest tulenevad kõik muud nende toimingute omadused, samuti täisarvude lahutamise ja jagamise omadusi.

Leheküljel navigeerimine.

Täisarvude liitmisel on veel mitmeid väga olulisi omadusi.

Üks neist on seotud nulli olemasoluga. See täisarvude liitmise omadus väidab, et nulli lisamine ükskõik millisele täisarvule seda arvu ei muuda. Kirjutame selle liitmise omaduse tähtede abil: a+0=a ja 0+a=a (see võrdus on tõene liitmise kommutatiivse omaduse tõttu), a on suvaline täisarv. Võite kuulda, et täisarvu nulli nimetatakse lisaks neutraalseks elemendiks. Toome paar näidet. Täisarvu −78 ja nulli summa on −78; Kui lisate positiivse täisarvu 999 nullile, on tulemuseks 999.

Nüüd esitame veel ühe täisarvude liitmise omaduse sõnastuse, mis on seotud mis tahes täisarvu vastandarvu olemasoluga. Iga täisarvu summa, millel on vastandnumber, on null. Anname selle omaduse kirjaliku vormi: a+(−a)=0, kus a ja −a on vastandlikud täisarvud. Näiteks summa 901+(−901) on null; samamoodi on vastandlike täisarvude −97 ja 97 summa null.

Täisarvude korrutamise põhiomadused

Täisarvude korrutamisel on kõik naturaalarvude korrutamise omadused. Loetleme nendest omadustest peamised.

Nii nagu null on liitmise suhtes neutraalne täisarv, on üks täisarvu korrutamise suhtes neutraalne täisarv. See on, mis tahes täisarvu korrutamine ühega ei muuda korrutatavat arvu. Seega 1·a=a, kus a on suvaline täisarv. Viimase võrrandi saab ümber kirjutada kujul a·1=a, mis võimaldab teha korrutamise kommutatiivse omaduse. Toome kaks näidet. Täisarvu 556 korrutis 1 on 556; ühe ja negatiivse täisarvu −78 korrutis on võrdne −78.

Järgmine täisarvude korrutamise omadus on seotud nulliga korrutamisega. Mis tahes täisarvu a nulliga korrutamise tulemus on null, see tähendab, a·0=0 . Võrdsus 0·a=0 on tõene ka täisarvude korrutamise kommutatiivse omaduse tõttu. Erijuhul, kui a=0, on nulli ja nulli korrutis võrdne nulliga.

Täisarvude korrutamisel kehtib ka eelmise pöördomadus. See väidab, et kahe täisarvu korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Literaalses vormis saab selle omaduse kirjutada järgmiselt: a·b=0, kui kas a=0 või b=0 või mõlemad a ja b on samaaegselt võrdsed nulliga.

Täisarvude korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes

Täisarvude ühine liitmine ja korrutamine võimaldab meil arvestada korrutamise jaotusomadusi liitmise suhtes, mis ühendab kahte näidatud toimingut. Liitmise ja korrutamise koos kasutamine avab lisavõimalusi, mis jääksid kasutamata, kui arvestaksime liitmist korrutamisest eraldi.

Niisiis, korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes väidab, et täisarvu a ja kahe täisarvu a ja b summa korrutis on võrdne korrutiste a b ja a c summaga, see tähendab, a·(b+c)=a·b+a·c. Sama omaduse saab kirjutada ka muul kujul: (a+b)c=ac+bc .

Täisarvude korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes koos liitmise kombineerimisomadusega võimaldab meil määrata täisarvu korrutamise kolme või enama täisarvu summaga ja seejärel täisarvude summa korrutamise summaga.

Samuti pange tähele, et kõik muud täisarvude liitmise ja korrutamise omadused on saadud meie näidatud omadustest, see tähendab, et need on ülaltoodud omaduste tagajärjed.

Täisarvude lahutamise omadused

Saadud võrdsusest, aga ka täisarvude liitmise ja korrutamise omadustest tulenevad järgmised täisarvude lahutamise omadused (a, b ja c on suvalised täisarvud):

• Täisarvude lahutamisel EI ole üldiselt kommutatiivset omadust: a−b≠b−a.
• Võrdsete täisarvude vahe on null: a−a=0.
• Antud täisarvust kahe täisarvu summa lahutamise omadus: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Täisarvu lahutamise omadus kahe täisarvu summast: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Korrutamise jaotusomadus lahutamise suhtes: a·(b-c)=a·b-a·c ja (a–b)·c=a·c-b·c.
• Ja kõik muud täisarvude lahutamise omadused.

Täisarvude jagamise omadused

Täisarvude jagamise tähenduse üle arutledes saime teada, et täisarvude jagamine on korrutamise pöördtegevus. Andsime järgmise definitsiooni: täisarvude jagamine on tundmatu teguri leidmine teadaolevast korrutisest ja teadaolevast tegurist. See tähendab, et me nimetame täisarvu c jagatiseks täisarvu a jagamisel täisarvuga b, kui korrutis c·b on võrdne a-ga.

See määratlus, nagu ka kõik ülalpool käsitletud täisarvudega tehtavate toimingute omadused, võimaldavad kindlaks teha järgmiste jagavate täisarvude omaduste kehtivuse:

• Ühtegi täisarvu ei saa nulliga jagada.
• Nulli jagamise omadus suvalise täisarvuga, mis ei ole null: 0:a=0.
• Võrdsete täisarvude jagamise omadus: a:a=1, kus a on mis tahes täisarv peale nulli.
• Suvalise täisarvu a ühega jagamise omadus: a:1=a.
• Üldiselt EI OLE täisarvude jagamisel kommutatiivset omadust: a:b≠b:a .
• Kahe täisarvu summa ja erinevuse täisarvuga jagamise omadused: (a+b):c=a:c+b:c ja (a-b):c=a:c-b:c, kus a, b , ja c on täisarvud, nii et a ja b jaguvad c-ga ja c on nullist erinev.
• Kahe täisarvu a ja b korrutise jagamise omadus nullist erineva täisarvuga c: (a·b):c=(a:c)·b, kui a jagub c-ga; (a·b):c=a·(b:c) , kui b jagub c-ga; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) kui nii a kui ka b jaguvad c-ga.
• Täisarvu a jagamise omadus kahe täisarvu b ja c korrutisega (arvud a , b ja c on sellised, et a jagamine b c-ga on võimalik): a:(b c)=(a:b)c=(a :c)·b .
• Kõik muud täisarvude jagamise omadused.

a, b on arvud, millel liitmine sooritatakse, c on liitmise tulemus.

Mitmekohaliste arvude liitmine toimub bittide kaupa.

• Näide: 9067542 + 34981 = 9102523

Liitumise seadused.

• 1) kommutatiivne: a + b = b + a;

Näide. 310 + 1454 = 1454 + 310. Olenemata sellest, kuidas me tulemuse liidame, on tulemuseks 1764.

• 2) assotsiatiivne: (a + b) + c = a + (b + c);

Näide: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 =534;

• 3) nulliga arvu liitmise seadus: a + 0 = a.

Lahutamine

a (minuend) - b (alamosa) = c (erinevus)

• Näide: 42397 - 17963 = 24434

Lahutamistoimingute omadused:

• 1) summast arvu lahutamise seadus:

(a + b) - c = (a - c) + b, kui a > c või a = c;

• 2) summast lahutamise seadus:

a - (b + c) = (a - b) - c;

• 3) arvust arvu lahutamise seadus:

• 4) nullist lahutamise seadus:

• 5) summast summa mahaarvamise seadus:

(a + b) - (c + d) = ;

Ülesanne liitmis- ja lahutamistehte näitena

Arvutage mugaval viisil:

• 1) (4981 - 2992) - 808;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

Rakendame 2. ja 5. lahutamise seadust:

• 1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

Korrutamine

Arvu a korrutamine arvuga b (b>1) tähendab b liikme summa leidmist (iga liige on võrdne a-ga).

a x b= a + a + ... + a

Kui b = 1, siis a x 1 = a.

a (esimene tegur) x b (teine ​​tegur) = c (toode)

Näiteks: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 x 3 + 34 x 2 = 171 + 68 + 239

Korrutamise seadused

• 1) kommutatiivne: a x b = b x a;

Näide. 15 x 110 = 110 x 15.

• 2) assotsiatiivne: (a x b) x c = a x (b x c);

Näide: (9 x 30) x 10= 9 x (30 x 10) = 9 x 300= 2700;

(65 x 25) x 44 = (25 x 65) x 44 = 25 x (65 x 44) = 25 x 2860 = 71500.

• 3) nulliga korrutamine: 0 x a = 0;

Näide: 0 x 10 = 0.

• 4) korrutamise distributiivne seadus liitmise (lahutamise) tegevuse kohta:

a x (b + c) = a x b + a x c;

Ülesanded korrutamise operatsiooni näitena

Ülesanne 1. Arvutage mugaval viisil:

• 1) (37 x 125) x 8;
• 2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67.

1) (37 x 125) x 8 = 37 x (125 x 8) = 37 x 1000 = 37000;

2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67 = 49 x (84 + 83 - 67) = 49 x 100 = 4900.

2. ülesanne. 1 kW / h maksab 12 rubla. Elektritriikraud tarbib 1 tunni töötamise kohta 2 kW/h. Triikrauaga triikisime riideid kaks päeva: esimesel päeval - 3 tundi, teisel - 2 tundi. Kui palju maksab elekter kaheks päevaks? Lahendage probleem ise ja me anname teile ainult vastused: 3 tundi - 72 rubla; 2 tundi - 48 hõõruda.

Jaoskond

a (jagatav) : b (jagaja) = c (jagatis)

Jagamise seadused:

• 1) a: 1 = a, kuna a x 1 = a;
• 2) 0: a = 0, kuna 0 x a = 0;
• 3) sa ei saa 0-ga jagada!

2224222: 2222 = 1001

Summa (erinevuse) arvuga jagamise seadus:

• 1) (a + b) : c = a: c + b: c, c ei ole 0;
• 2) (a - b) : c = a: c -b: c, c ei ole 0;

Näide: (4800 + 9300) : 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.

Korrutise arvuga jagamise seadus:

(a x b) :c = (a: c) x b = (b: c) x a, c ei ole 0.

Joonistame ruudulisele paberile ristküliku, mille küljed on 5 cm ja 3 cm, jagame see ruutudeks, mille küljed on 1 cm (joonis 143). Loendame ristkülikus asuvate lahtrite arvu. Seda saab teha näiteks nii.

1 cm küljega ruutude arv on 5 * 3. Iga selline ruut koosneb neljast lahtrist. Seetõttu on lahtrite koguarv (5 * 3) * 4.

Sama probleemi saab lahendada erinevalt. Ristküliku kõik viis veergu koosneb kolmest ruudust, mille külg on 1 cm. Seetõttu on ühes veerus 3 * 4 lahtrit. Seetõttu on kokku 5 * (3 * 4) lahtreid.

Lahtrite loendamine joonisel 143 illustreerib kahel viisil korrutamise assotsiatiivne omadus numbrite 5, 3 ja 4 jaoks. Meil on: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Kahe arvu korrutise korrutamiseks kolmanda arvuga saate esimese arvu korrutada teise ja kolmanda arvu korrutisega.

(ab)c = a(bc)

Korrutamise kommutatiivsetest ja kombinatiivsetest omadustest järeldub, et mitme arvu korrutamisel saab tegureid omavahel vahetada ja panna sulgudesse, määrates seeläbi arvutuste järjekorra.

Näiteks on tõesed järgmised võrdsused:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Joonisel 144 jagab segment AB ülalkirjeldatud ristküliku ristkülikuks ja ruuduks.

Loendame kahel viisil ruutude arvu, mille külg on 1 cm.

Ühest küljest sisaldab saadud ruut neist 3 * 3 ja ristkülik 3 * 2. Kokku saame 3 * 3 + 3 * 2 ruutu. Teisest küljest on selle ristküliku igal kolmel real 3 + 2 ruutu. Siis on nende koguarv 3 * (3 + 2).

Võrdne 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 illustreerib korrutamise jaotusomadus liitmise suhtes.

Arvu korrutamiseks kahe arvu summaga saate selle arvu korrutada iga liitmisega ja liita saadud korrutised.

Sõnasõnalises vormis on see omadus kirjutatud järgmiselt:

a(b + c) = ab + ac

Korrutamise jaotusomadusest liitmise suhtes järeldub, et

ab + ac = a(b + c).

See võrdsus võimaldab valemiga P = 2 a + 2 b leida ristküliku ümbermõõdu, mis tuleb kirjutada järgmisel kujul:

P = 2 (a + b).

Pange tähele, et levitamisomadus kehtib kolm või enam terminit. Näiteks:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

Tõene on ka korrutamise jaotusomadus lahutamise suhtes: kui b > c või b = c, siis

a(b − c) = ab − ac

Näide 1 . Arvutage mugaval viisil:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Kasutame korrutamise kommutatiivseid ja seejärel assotsiatiivseid omadusi:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Meil ​​on:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Näide 2 . Lihtsusta väljendit:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m − 13 m.

1) Kasutades korrutamise kommutatiivseid ja assotsiatiivseid omadusi, saame:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) Kasutades korrutamise jaotusomadust lahutamise suhtes, saame:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

Näide 3 . Kirjuta avaldis 5 (2 m + 7) nii, et see ei sisaldaks sulgusid.

Vastavalt korrutamise jaotusomadusele liitmise suhtes on meil:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Seda teisendust nimetatakse avasulud.

Näide 4 . Arvutage avaldise 125 * 24 * 283 väärtus mugavalt.

Lahendus. Meil on:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Näide 5 . Korrutage: 3 päeva 18 tundi * 6.

Lahendus. Meil on:

3 päeva 18 tundi * 6 = 18 päeva 108 tundi = 22 päeva 12 tundi.

Näite lahendamisel kasutati korrutamise jaotusomadust liitmise suhtes:

3 päeva 18 tundi * 6 = (3 päeva + 18 tundi) * 6 = 3 päeva * 6 + 18 tundi * 6 = 18 päeva + 108 tundi = 18 päeva + 96 tundi + 12 tundi = 18 päeva + 4 päeva + 12 tundi = 22 päeva 12 tundi.

Ühe numbri lisamine teisele on üsna lihtne. Vaatame näidet, 4+3=7. See avaldis tähendab, et neljale ühikule liideti kolm ühikut ja tulemuseks oli seitse ühikut.
Lisatud numbreid 3 ja 4 nimetatakse tingimustele. Ja numbri 7 lisamise tulemus kutsutakse summa.

Summa on numbrite liitmine. Plussmärk "+".
Sõnasõnalises vormis näeks see näide välja järgmine:

a+b=c

Lisakomponendid:
a- tähtaeg, b- tingimused, c- summa.
Kui liidame 3 ühikule 4 ühikut, saame liitmise tulemusena sama tulemuse, see võrdub 7-ga.

Sellest näitest järeldame, et olenemata sellest, kuidas me tingimusi vahetame, jääb vastus samaks:

Seda terminite omadust nimetatakse kommutatiivne liitmise seadus.

Kommutatiivne liitmise seadus.

Tingimuste kohtade muutmine ei muuda summat.

Sõnasõnalises tähistuses näeb kommutatiivne seadus välja järgmine:

a+b=b+a

Kui arvestame näiteks kolme terminiga, võtame arvud 1, 2 ja 4. Ja liidame selles järjekorras, lisame esmalt 1 + 2 ja seejärel lisame saadud summale 4, saame avaldise:

(1+2)+4=7

Võime teha vastupidi, lisades esmalt 2+4 ja seejärel saadud summale 1. Meie näide näeb välja selline:

1+(2+4)=7

Vastus jääb samaks. Mõlemal sama näite lisamise tüübil on sama vastus. Me järeldame:

(1+2)+4=1+(2+4)

Seda liitmise omadust nimetatakse liitmise assotsiatiivne seadus.

Kommutatiivne ja assotsiatiivne liitmise seadus töötab kõigi mittenegatiivsete arvude puhul.

Kombinatsiooni liitmise seadus.

Kahe arvu summale kolmanda arvu lisamiseks saate esimesele arvule lisada teise ja kolmanda arvu summa.

(a+b)+c=a+(b+c)

Kombinatsiooniseadus töötab suvalise arvu terminite puhul. Kasutame seda seadust siis, kui vajame numbreid mugavas järjekorras lisada. Näiteks liidame kolm arvu 12, 6, 8 ja 4. Mugavam on kõigepealt liita 12 ja 8 ning seejärel liita saadud summale kahe arvu 6 ja 4 summa.
(12+8)+(6+4)=30

Nulliga liitmise omadus.

Kui lisate arvu nulliga, on tulemuseks sama arv.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Sõnasõnalises avaldises näeb nulliga liitmine välja järgmine:

a+0=a
0+ a=a

Küsimused naturaalarvude liitmise teemal:
Tee lisatabel ja vaata, kuidas kommutatiivse seaduse omadus töötab?
Lisatabel 1 kuni 10 võib välja näha selline:

Lisamistabeli teine ​​versioon.

Kui vaatame liitmistabeleid, näeme, kuidas kommutatiivseadus töötab.

Mis on avaldises a+b=c summa?
Vastus: summa on terminite liitmise tulemus. a+b ja c.

Mis saab avaldises a+b=c?
Vastus: a ja b. Lisad on arvud, mille me kokku liidame.

Mis juhtub numbriga, kui lisate sellele 0?
Vastus: ei midagi, number ei muutu. Nulliga liitmisel jääb arv samaks, sest null on ühtede puudumine.

Mitu liiget peaks näites olema, et saaks rakendada liitmisseadust?
Vastus: kolmest või enamast terminist.

Kirjutage kommutatiivne seadus sõnasõnaliselt üles?
Vastus: a+b=b+a

Näited ülesannete jaoks.
Näide nr 1:
Kirjuta vastus antud avaldistele: a) 15+7 b) 7+15
Vastus: a) 22 b) 22

Näide nr 2:
Rakendage kombinatsiooniseadust mõistetele: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Vastus: 20.

Näide nr 3:
Lahendage väljend:
a) 5921+0 b) 0+5921
Lahendus:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921