Kas 0 saab jagada arvuga? Reegel mis tahes arvu nulliga korrutamiseks

Matemaatikutel on spetsiifiline huumorimeel ja mõnda arvutustega seotud küsimust ei võeta enam tõsiselt. Alati pole selge, kas nad püüavad teile täie tõsidusega selgitada, miks te ei saa nulliga jagada või on see lihtsalt nali. Kuid küsimus ise ei ole nii ilmne, kui elementaarmatemaatikas võib selle lahenduseni jõuda puhtloogiliselt, siis kõrgemas matemaatikas võib olla muid lähtetingimusi.

Millal null ilmus?

Arv null on täis palju mõistatusi:

• Vana-Roomas seda numbrit ei tuntud; loendussüsteem algas I-ga.
• Araablased ja indiaanlased vaidlesid pikka aega selle eest, et neid saaks nimetada nulli eellasteks.
• Maiade kultuuri uurimine on näidanud, et see iidne tsivilisatsioon võis olla esimene, kes kasutas nulli.
• Nullil pole numbrilist väärtust, isegi mitte minimaalset.
• See ei tähenda sõna otseses mõttes mitte midagi, loetavate asjade puudumist.

Primitiivses süsteemis polnud sellise kuju järele erilist vajadust, millegi puudumist sai seletada sõnadega. Kuid tsivilisatsioonide tekkimisega kasvasid inimeste vajadused ka arhitektuuri ja inseneriteaduse osas.

Keerulisemate arvutuste tegemiseks ja uute funktsioonide tuletamiseks oli see vajalik number, mis viitaks millegi täielikule puudumisele.

Kas on võimalik jagada nulliga?

Seal on kaks diametraalselt vastandlikku arvamust:

Koolis, isegi algklassides, õpetatakse, et nulliga ei tohi kunagi jagada. Seda seletatakse väga lihtsalt:

1. Kujutagem ette, et teil on 20 mandariiniviilu.
2. Jagades need 5-ga, kingid viiele sõbrale 4 viilu.
3. Nulliga jagamine ei toimi, sest kellegi vahel jagamise protsessi ei toimu.

Loomulikult on see kujundlik seletus, mis on suuresti lihtsustatud ja ei ole tegelikkusega täielikult kooskõlas. Kuid see selgitab äärmiselt arusaadavalt millegi nulliga jagamise mõttetust.

Lõppude lõpuks võib sel viisil tähistada jagunemise puudumise fakti. Milleks teha matemaatilisi arvutusi keeruliseks ja ka jagamise puudumist kirja panna?

Kas nulli saab jagada arvuga?

Rakendusmatemaatika seisukohalt pole igal nulliga seotud jaotusel erilist mõtet. Kuid kooliõpikud on nende arvates selged:

• Nulli saab jagada.
• Jagamiseks võib kasutada mis tahes arvu.
• Nulli ei saa nulliga jagada.

Kolmas punkt võib tekitada kerget hämmeldust, sest vaid paar lõiku eespool viidati, et selline jaotus on täiesti võimalik. Tegelikult oleneb kõik distsipliinist, milles te arvutusi teete.

Sel juhul on koolilastel tõesti parem seda kirjutada väljendust ei saa määrata , ja seetõttu pole sellel mõtet. Kuid mõnes algebrateaduse harus on lubatud kirjutada selline avaldis, jagades nulli nulliga. Eriti kui tegemist on arvutite ja programmeerimiskeeltega.

Nulli arvuga jagamise vajadus võib tekkida mistahes võrduste lahendamisel ja algväärtuste otsimisel. Kuid sel juhul vastus on alati null. Siin, nagu ka korrutamise puhul, olenemata sellest, millise arvuga te nulli jagate, ei saa te lõpuks nullist rohkem. Seetõttu, kui märkate seda hinnalist numbrit tohutus valemis, proovige kiiresti “välja mõelda”, kas kõik arvutused taanduvad väga lihtsale lahendusele.

Kui lõpmatus on jagatud nulliga

Lõpmatult suuri ja lõpmata väikseid väärtusi oli vaja veidi varem mainida, sest see avab ka lünki jagamisel, sealhulgas nulli kasutamisel. See on tõsi ja siin on väike konks, sest lõpmata väike väärtus ja väärtuse täielik puudumine on erinevad mõisted.

Kuid selle väikese erinevuse meie tingimustes võib tähelepanuta jätta; lõppkokkuvõttes tehakse arvutused abstraktsete suuruste abil:

• Lugejad peavad sisaldama lõpmatuse märki.
• Nimetajad on nullini kalduva väärtuse sümboolne kujutis.
• Vastus on lõpmatus, mis esindab lõpmatult suurt funktsiooni.

Tuleb märkida, et me räägime ikkagi lõpmata väikese funktsiooni sümboolsest kuvamisest, mitte nulli kasutamisest. Selle märgiga pole midagi muutunud, seda ei saa endiselt jagada, ainult väga-väga haruldaste eranditena.

Enamasti kasutatakse nulli probleemide lahendamiseks puhtalt teoreetiline tasand. Võib-olla on aastakümnete või isegi sajandite pärast kõigil kaasaegsetel arvutustel praktiline rakendus ja need annavad teaduses mingi suurejoonelise läbimurde.

Vahepeal unistab enamik matemaatilisi geeniusi ülemaailmsest tunnustusest. Nende reeglite erand on meie kaasmaalane, Perelman. Kuid ta on tuntud selle poolest, et lahendas Poinqueré oletuse tõestusega tõeliselt epohhiloova probleemi ja oma ekstravagantse käitumise.

Paradoksid ja nulliga jagamise mõttetus

Nulliga jagamisel pole enamasti mõtet:

• Osakond on esindatud kui korrutamise pöördfunktsioon.
• Suvalise arvu saame korrutada nulliga ja vastuseks saada nulli.
• Sama loogika järgi võiks jagada suvalise arvu nulliga.
• Sellistes tingimustes oleks lihtne jõuda järeldusele, et mis tahes arv, mis on korrutatud või jagatud nulliga, võrdub mis tahes muu arvuga, millega see tehe tehti.
• Jätame matemaatilise tehte kõrvale ja saame kõige huvitavama järelduse - mis tahes arv võrdub mis tahes arvuga.

Lisaks selliste juhtumite tekitamisele nulliga jagamisel pole praktilist tähendust, sõnast üldiselt. Isegi kui see toiming on võimalik, ei ole võimalik uut teavet hankida.

Elementaarmatemaatika seisukohalt jagatakse nulliga jagamisel kogu objekt nulliga, see tähendab mitte ainsatki korda. Lihtsamalt öeldes - lõhustumisprotsessi ei toimu, seega ei saa sellel sündmusel olla tulemust.

Matemaatikuga samas seltskonnas olles võid alati küsida paar banaalset küsimust, näiteks miks ei saa nulliga jagada ja saada huvitava ja arusaadava vastuse. Või ärritus, sest see pole ilmselt esimene kord, kui inimeselt seda küsitakse. Ja isegi mitte kümnendas. Nii et hoolitsege oma matemaatikutest sõprade eest, ärge sundige neid ühte selgitust sada korda kordama.

Video: jagage nulliga

Selles videos räägib matemaatik Anna Lomakova teile, mis juhtub, kui jagate arvu nulliga ja miks seda ei saa teha matemaatilisest vaatenurgast:

Üks esimesi reegleid, mida koolis õpetatakse, on nulliga jagamise keeld. Miks ei saa nulliga jagada? See on aksioom, mis ilmnes elementaaralgebras. Seda õpitakse keskkoolides.

Kooliajast on siiani jäänud eelarvamus, et see on võimatu, kuigi keegi ei oska õieti seletada, miks see nii on. Selle matemaatilise tehte mõistmiseks peate kõigepealt mõistma üht küsimust: mis on lõpmatus?

Matemaatilise lõpmatuse mõiste

See on üks inimmõtlemise kategooriatest, mida kasutatakse piiritute, piiritute nähtuste, protsesside ja arvude määratlemiseks. Matemaatiline lõpmatus on suurus, mida on teoreetiliselt ja praktiliselt võimatu arvutada.

Kõik on üsna proosaline: kui arv jagatakse järjest vähemaga, on tulemuseks suurem väärtus. Mida väiksem see on, seda suurem on väärtus. Mida suurem on dividendi ja jagaja vahe, seda suurem on jagatis. Just selline on matemaatika lõpmatuse olemus.

Seega, kui jagaja kaldub nulli, on jagatise lõppväärtus lõpmatuse lähedal. Ja juhul, kui jagaja on null, on arvutuse lõpptulemus just see "suurus". Mitte väga suur väärtus, mitte miljardid miljonid, vaid lõpmatus.

Kuna selle suuruse määratlust (kui see üldse eksisteerib) ikka veel ei ole, on füüsikud ja matemaatikud tavapäraselt nõustunud, et nulliga jagamine on võimatu. Pole mõtet. See on lihtsaim vastus meie küsimusele. Ja neile, kes pole sellest aru saanud, proovime teile üksikasjalikumalt rääkida.

Lihtsamad toimingud numbritega

Kooli matemaatikakursusest on kõigil meeles, et lihtsaid tehteid on neli: korrutamine, jagamine, liitmine ja lahutamine. Need toimingud ei ole samaväärsed. Korrutamine ja jagamine on ülimuslikud liitmise ja lahutamise jms ees. Matemaatikast järeldub, et põhitehted arvudega on liitmine ja lahutamine ning kõik teised (sh tuletised, integraalid ja logaritmid) on tuletised.

Vaatame näitena lahutamist. Näite "10 - 7 = ..." lahendamiseks peate kümnest ühikust lahutama seitse ja vastuseks saab arvutuse tulemus. Kuna liitmisel on suurem tähtsus, tuleks näidet käsitleda liitmise reeglite kaudu. Meil on selline näide: "X + 7 = 10". Teisisõnu, millisele numbrile tuleb kümne saamiseks lisada seitse?

Sama jagamisega. Avaldis "10: 2 = ...." tuletatakse avaldisest "2 X = 10". Teisisõnu, mida on vaja kaks korda võtta, et saada kokku kümme? Vastus on ilmne. Nüüd vaatame sama näidet, ainult nulliga. Võtame avaldise "10: 0 = ...". Selle kahendarvu pöördtehte on "0 X = 10". Siin näeme vastust. Mida on vaja korrutada "mittemillegiga" (elementaaralgebras), et saada kokku kümme? On teada, et kui null korrutada mõne muu väärtusega, siis pole meil "mitte midagi". Arvu, mis võib anda toimingu teistsuguse lõpptulemuse, lihtsalt ei eksisteeri.

Tulemuseks on lahenduse võimatus.

Miks saab nulliga korrutada?

Miks te ei saa seda teha nulliga, aga kas saate korrutada? Jämedalt öeldes algab kogu kõrgem matemaatika sellest küsimusest. Vastuse saate teada alles siis, kui teil on võimalus hoolikalt uurida formaalseid matemaatilisi definitsioone matemaatiliste hulkade manipuleerimise kohta.

See ei ole suur raskus. Ülikoolides käsitletakse seda teemat esmalt algkursustel. Seetõttu võivad need, keda see teema tõsiselt huvitab, uurida paari õpikut parameetritega võrrandite, lineaarfunktsioonide jms kohta.

Mittestandardsed keelatud jagamise meetodid

Ja lõpuks, neile, kes on siiani lugenud ja otsustanud lõpliku vastuse saada, toome näiteid juhtudest, mil saab nulliga jagada.

Tegelikult on üldmatemaatikas kõik arvudega tehted võimalikud. Võite isegi tõestada, et 1 = 2. Kuidas, küsite? Täiesti lihtne. Lihtsate matemaatiliste tehtetega 7. klassi tasemel:

X 2 - X 2 = X 2 - X 2

X (X - X) = (X + X) (X - X)

Nüüd vaatame peamisi teooriaid, mis hõlmavad jagunemist "mittemillekski".

Mittestandardne analüüs

Kõige pöördumatumate jaoks leiutasid nad spetsiaalselt hüperreaalarvud mittestandardse analüüsi jaoks. Selle teooria kohaselt on väärtusi, mis ei võrdu nulliga, kuid on samal ajal väikseimad mooduli reaalarvud. Raske? Sa ise otsisid vastust.

Kompleksmuutuja funktsioonide teooria

Laiendatud komplekstasand võimaldab jagada nulliga. Selle põhjuseks on asjaolu, et lõpmatus selles ei ole äärmiselt kättesaamatu väärtus, vaid konkreetne punkt ruumis, mida on võimalik näha stereograafilises projektsioonis.

Seega võime järeldada: ikkagi on võimalik nulliga jagada. Aga mitte koolimatemaatika raamesse. Loodame, et suutsime teie küsimusele vastata. Ja edaspidi saate neid matemaatilisi keerukusi kõigile ise selgitada.

"Te ei saa nulliga jagada!" - Enamik koolilapsi õpib selle reegli pähe, ilma küsimusi esitamata. Kõik lapsed teavad, mis on "sa ei saa" ja mis juhtub, kui te küsite vastuseks: "Miks?" Aga tegelikult on väga huvitav ja oluline teada, miks see võimalik ei ole.

Asi on selles, et aritmeetika neli toimingut – liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine – on tegelikult ebavõrdsed. Matemaatikud tunnistavad neist kehtivaks vaid kahte – liitmist ja korrutamist. Need toimingud ja nende omadused sisalduvad arvu mõiste definitsioonis. Kõik muud toimingud on ühel või teisel viisil üles ehitatud nendest kahest.

Mõelge näiteks lahutamisele. Mida tähendab 5-3? Õpilane vastab sellele lihtsalt: peate võtma viis eset, võtma neist kolm ära (eemaldama) ja vaadake, kui palju jääb. Kuid matemaatikud vaatavad seda probleemi täiesti erinevalt. Lahutamist ei toimu, on ainult liitmine. Seetõttu tähendab tähistus 5 – 3 arvu, mis arvule 3 liites annab arvu 5. See tähendab, et 5 – 3 on lihtsalt võrrandi lühendatud märge: x + 3 = 5. Lahutamist ei toimu. selles võrrandis. On vaid ülesanne – leida sobiv number.

Sama lugu on korrutamise ja jagamisega. Kannet 8:4 võib mõista kui kaheksa eseme jagamist neljaks võrdseks hunnikuks. Kuid tegelikult on see lihtsalt võrrandi 4 x = 8 stenogramm.

Siin saab selgeks, miks nulliga jagamine on võimatu (või pigem võimatu). Salvestus 5: 0 on lühend väärtusest 0 x = 5. See tähendab, et selle ülesande eesmärk on leida arv, mis 0-ga korrutades annab 5. Kuid me teame, et kui korrutada 0-ga, on tulemus alati 0. on nulli omane omadus, rangelt võttes osa selle määratlusest.

Sellist arvu pole, mille korrutamisel 0-ga saadakse midagi muud kui null. See tähendab, et meie probleemil pole lahendust. (Jah, seda juhtub, mitte igale probleemile ei ole lahendust.) See tähendab, et kirje 5:0 ei vasta ühelegi konkreetsele arvule ja see lihtsalt ei tähenda midagi ning seetõttu puudub ka tähendus. Selle sissekande mõttetust väljendab lühidalt öeldes, et nulliga jagada ei saa.

Selle koha tähelepanelikumad lugejad küsivad kindlasti: kas nulli saab jagada nulliga? Tegelikult saab võrrandi 0 x = 0 ohutult lahendada. Näiteks võime võtta x = 0 ja siis saame 0 0 = 0. Niisiis, 0: 0=0? Kuid ärgem kiirustagem. Proovime võtta x = 1. Saame 0 1 = 0. Õige? Nii et 0:0 = 1? Kuid nii saate võtta mis tahes arvu ja saada 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 jne.

Aga kui mõni number sobib, siis pole meil põhjust ühtegi neist valida. See tähendab, et me ei saa öelda, millisele arvule vastab kanne 0 : 0. Ja kui nii, siis oleme sunnitud tunnistama, et ka sellel kirjel pole mõtet. Selgub, et isegi nulli ei saa nulliga jagada. (Matemaatilises analüüsis on juhtumeid, kus ülesande lisatingimuste tõttu võib eelistada üht võrrandi 0 x = 0 võimalikest lahendustest; sellistel juhtudel räägivad matemaatikud “määramatuse avalikustamisest”, kuid aritmeetika selliseid juhtumeid ei esine.)

See on divisjoni operatsiooni eripära. Täpsemalt on korrutamise tehe ja sellega seotud arv null.

Noh, kõige põhjalikumad, kes on nii kaugele lugenud, võivad küsida: miks juhtub nii, et te ei saa nulliga jagada, kuid saate nulli lahutada? Teatud mõttes siit algab tõeline matemaatika. Sellele saate vastata ainult siis, kui tutvute arvhulkade formaalsete matemaatiliste definitsioonidega ja nendega tehtavate operatsioonidega. See pole nii raske, aga millegipärast seda koolis ei õpetata. Kuid ülikooli matemaatika loengutel õpetavad nad teile kõigepealt täpselt seda.

Range nulliga jagamise keeld on kehtestatud isegi kooli madalamates klassides. Lapsed tavaliselt selle põhjustele ei mõtle, kuid tegelikult on teadmine, miks midagi keelatud on, nii huvitav kui kasulik.

Aritmeetilised tehted

Aritmeetilised tehted, mida koolis õpitakse, ei ole matemaatikute seisukohalt samaväärsed. Nad tunnistavad kehtivaks ainult kahte neist tehtetest – liitmise ja korrutamise. Need sisalduvad arvu mõistes ja kõik muud numbritega tehtavad toimingud on ühel või teisel viisil üles ehitatud nendele kahele. See tähendab, et mitte ainult nulliga jagamine on võimatu, vaid jagamine üldiselt on võimatu.

Lahutamine ja jagamine

Mis ülejäänud toimingutest puudu on? Jällegi teame koolist, et näiteks seitsmest nelja lahutamine tähendab seda, et võtad seitse maiustust, sööd neist neli ära ja arvestad allesjäänud. Kuid matemaatikud tajuvad maiustusi süües ja üldiselt neid täiesti erinevalt. Nende jaoks on ainult liitmine, see tähendab, et märge 7–4 tähendab arvu, mis arvule 4 liites võrdub 7-ga. See tähendab, et matemaatikute jaoks on 7–4 võrrandi lühike märge. : x + 4 = 7. See ei ole lahutamine, vaid probleem – leidke arv, mis tuleb x asemele panna.

Sama kehtib ka jagamise ja korrutamise kohta. Jagades kümme kahega, paneb noorem tudeng kümme kommi kahte identsesse hunnikusse. Matemaatik näeb siin ka võrrandit: 2 x = 10.

See seletab, miks nulliga jagamine on keelatud: see on lihtsalt võimatu. Kirje 6: 0 peaks muutuma võrrandiks 0 · x = 6. See tähendab, et peate leidma arvu, mille saab korrutada nulliga ja saada 6. Kuid on teada, et nulliga korrutamine annab alati nulli. See on nulli oluline omadus.

Seega pole arvu, mis nulliga korrutades annaks mõne muu arvu kui null. See tähendab, et sellel võrrandil pole lahendit, pole ühtegi arvu, mis korreleeruks tähisega 6: 0, see tähendab, et sellel pole mõtet. Nad räägivad selle mõttetusest, kui nulliga jagamine on keelatud.

Kas null jagub nulliga?

Kas nulli on võimalik nulliga jagada? Võrrand 0 · x = 0 ei tekita raskusi ja võite võtta x jaoks just selle nulli ja saada 0 · 0 = 0. Siis 0: 0 = 0? Aga kui me võtame näiteks ühe kui x, siis saame ka 0 1 = 0. Võite võtta x jaoks suvalise arvu ja jagada nulliga ja tulemus jääb samaks: 0: 0 = 9, 0 : 0 = 51 ja nii edasi Edasi.

Seega saab sellesse võrrandisse sisestada absoluutselt suvalise arvu ja pole võimalik valida ühtegi konkreetset, pole võimalik kindlaks teha, millist numbrit tähistatakse tähisega 0: 0. See tähendab, et sellel tähistusel pole ka mõtet ja jagamine nulliga on siiski võimatu: see pole isegi iseenesest jagatav.

See on jagamistehte, st korrutamise ja sellega seotud arvu null, oluline tunnus.

Jääb küsimus: kas seda on võimalik lahutada? Võib öelda, et tõeline matemaatika algab sellest huvitavast küsimusest. Sellele vastuse leidmiseks peate õppima arvuhulkade formaalseid matemaatilisi definitsioone ja tutvuma nendega tehtavate toimingutega. Näiteks pole olemas ainult lihtsaid, vaid ka nende jaotus erineb tavaliste omast. Seda küll kooli õppekavas ei ole, aga sellega algavad ülikooli matemaatika loengud.

Kui rikute teadusmaailmas üldtunnustatud reegleid, võite saada kõige ootamatumaid tulemusi.

Kooliajast saati on õpetajad meile öelnud, et matemaatikas on üks reegel, mida ei saa rikkuda. See kõlab nii: "Nulliga ei saa jagada!"

Miks nii tuttav arv 0, mida me igapäevaelus nii sageli kohtame, tekitab lihtsa aritmeetilise tehte, näiteks jagamise, sooritamisel nii palju raskusi?

Uurime seda küsimust.

Kui jagame ühe arvu üha väiksemate arvudega, on tulemuseks järjest suuremad väärtused. Näiteks

Seega selgub, et kui jagame nullile kalduva arvuga, saame suurima tulemuse, mis kaldub lõpmatusse.

Kas see tähendab, et kui jagame oma arvu nulliga, saame lõpmatuse?

See kõlab loogiliselt, kuid me teame vaid seda, et kui jagame arvuga, mille väärtus on null, siis kipub tulemus ainult lõpmatuseni ja see ei tähenda, et nulliga jagades jõuame lõpmatuseni . Miks see nii on?

Esiteks peame mõistma, mis on jagamise aritmeetiline tehe. Seega, kui jagame 20 10-ga, tähendab see, mitu korda peame liitma arvu 10, et saada 20, või mitu korda peame võtma kaks korda, et saada 20.

Üldiselt on jagamine korrutamise aritmeetiline pöördtehte. Näiteks mis tahes arvu X-ga korrutamisel võime esitada küsimuse: "Kas on arv, mille peame tulemusega korrutama, et teada saada X-i algväärtus?" Ja kui selline arv on olemas, siis on see X pöördväärtus. Näiteks kui korrutame 2 5-ga, saame 10. Kui pärast seda korrutame 10 viiendikuga, saame jälle 2:

Seega 1/5 on 5 pöördväärtus, 10 pöördväärtus on 1/10.

Nagu olete juba märganud, on arvu korrutamisel pöördarvuga vastus alati üks. Ja kui soovite arvu jagada nulliga, peate leidma selle pöördarvu, mis peaks olema võrdne ühega jagatud nulliga.

See tähendab, et nulliga korrutamisel peab tulemus olema üks ja kuna on teada, et kui korrutad suvalise arvu 0-ga, saad 0, siis see on võimatu ja nullil pole pöördarvu.

Kas sellest vastuolust on võimalik midagi välja mõelda?

Varem olid matemaatikud juba leidnud võimalusi matemaatikareeglitest mööda hiilimiseks, kuna varem oli matemaatikareeglite järgi võimatu saada negatiivse arvu ruutjuure väärtust, siis tehti ettepanek tähistada selliseid ruutjuure kujuteldavate arvudega. . Selle tulemusena tekkis uus matemaatika haru kompleksarvude kohta.

Miks siis mitte proovida juurutada ka uut reeglit, mille järgi nulliga jagatud tähistataks lõpmatuse märgiga ja vaata, mis saab?

Oletame, et me ei tea lõpmatusest midagi. Sel juhul, kui me alustame pöördarvust null, siis korrutades nulli lõpmatusega, peaksime saama ühe. Ja kui lisame sellele veel ühe nulli jagatuna lõpmatusega, peaks tulemuseks olema number kaks:

Vastavalt matemaatika jaotusseadusele võib võrrandi vasakut poolt esitada järgmiselt:

ja kuna 0+0=0, siis on meie võrrand kujul 0*∞=2, kuna oleme juba defineerinud 0*∞=1, siis selgub, et 1=2.

See kõlab naeruväärselt. Kuid ka seda vastust ei saa pidada täiesti valeks, kuna sellised arvutused lihtsalt ei tööta tavaliste numbrite puhul. Näiteks Riemanni sfääris kasutatakse nulliga jagamist, aga hoopis teistmoodi ja see on hoopis teine ​​lugu...

Ühesõnaga, tavapärasel viisil nulliga jagamine ei lõpe hästi, kuid sellest hoolimata ei tohiks see saada takistuseks matemaatika vallas eksperimenteerimiseks, juhul kui õnnestub avada uusi uurimisvaldkondi.