Rindade kohta

Mis on vektorsüsteemi aluseks. Vektorite lineaarne sõltuvus

Aluse määratlus. Vektorite süsteem on aluseks, kui:

1) see on lineaarselt sõltumatu,

2) selle kaudu saab lineaarselt väljendada mis tahes ruumivektorit.

Näide 1. Ruumi alus: .

2. Vektorsüsteemis aluseks on vektorid: , sest lineaarselt väljendatud vektorites.

Kommenteeri. Antud vektorite süsteemi aluse leidmiseks peate:

1) kirjutage maatriksisse vektorite koordinaadid,

2) elementaarteisenduste abil viige maatriks kolmnurksesse vormi,

3) süsteemi aluseks on maatriksi nullist erinevad read,

4) vektorite arv baasis on võrdne maatriksi auastmega.

Kroneckeri-Capelli teoreem

Kroneckeri-Capelli teoreem annab ammendava vastuse küsimusele suvalise lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse kohta tundmatutega.

Kronecker-Capelli teoreem. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem on järjepidev siis ja ainult siis, kui süsteemi laiendatud maatriksi auaste on võrdne põhimaatriksi astmega.

Algoritm samaaegse lineaarvõrrandisüsteemi kõigi lahenduste leidmiseks tuleneb Kroneckeri–Capelli teoreemist ja järgmistest teoreemidest.

Teoreem. Kui liitsüsteemi aste on võrdne tundmatute arvuga, siis on süsteemil unikaalne lahendus.

Teoreem. Kui liitsüsteemi järk on väiksem kui tundmatute arv, siis on süsteemil lõpmatu arv lahendeid.

Algoritm suvalise lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks:

1. Leidke süsteemi põhi- ja laiendatud maatriksite auastmed. Kui need ei ole võrdsed (), siis on süsteem ebajärjekindel (pole lahendusi). Kui auastmed on võrdsed ( , siis on süsteem järjekindel.

2. Ühissüsteemi jaoks leiame mingi minoori, mille järjekord määrab maatriksi auastme (sellist molli nimetatakse põhiliseks). Koostame uue võrrandisüsteemi, milles tundmatute koefitsiendid on kaasatud põhi-molli (neid tundmatuid nimetatakse peamisteks tundmatuteks), ja jätame ülejäänud võrrandid kõrvale. Jätame peamised tundmatud koefitsientidega vasakule ja ülejäänud tundmatud (neid nimetatakse vabadeks tundmatuteks) nihutame võrrandite paremale poole.

3. Leiame avaldised peamiste tundmatute kohta vabade mõistes. Saame süsteemi üldlahenduse.

4. Andes vabadele tundmatutele suvalised väärtused, saame peamiste tundmatute vastavad väärtused. Nii leiame algsele võrrandisüsteemile osalahendusi.

Lineaarne programmeerimine. Põhimõisted

Lineaarne programmeerimine on matemaatilise programmeerimise haru, mis uurib meetodeid äärmuslike probleemide lahendamiseks, mida iseloomustab lineaarne seos muutujate ja lineaarse kriteeriumi vahel.

Lineaarse programmeerimise probleemi püstitamiseks on vajalik tingimus ressursside kättesaadavuse, nõudluse, ettevõtte tootmisvõimsuse ja muude tootmistegurite piiramine.

Lineaarse programmeerimise olemus on leida teatud funktsiooni suurima või väikseima väärtuse punktid teatud argumentidele ja generaatoritele seatud piirangute korral. piirangute süsteem , millel on reeglina lõpmatu arv lahendusi. Iga muutujate väärtuste komplekt (funktsiooni argumendid F ), mis rahuldavad piirangute süsteemi, nimetatakse kehtiv plaan lineaarse programmeerimise probleemid. Funktsioon F , mille maksimum või miinimum on määratud sihtfunktsioon ülesandeid. Teostatav plaan, mille kohaselt saavutatakse funktsiooni maksimum või miinimum F , kutsus optimaalne plaan ülesandeid.

Paljusid plaane määrava piirangute süsteemi dikteerivad tootmistingimused. Lineaarse programmeerimise probleem ( ZLP ) on teostatavate plaanide hulgast kõige tulusama (optimaalseima) valik.

Lineaarse programmeerimise probleem näeb oma üldises sõnastuses välja järgmine:

Kas on mingeid muutujaid? x = (x 1, x 2, ... x n) ja nende muutujate funktsioon f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , mida nimetatakse sihtmärk funktsioonid. Ülesanne püstitatakse: leida sihtfunktsiooni ekstreemum (maksimum või miinimum). f(x) tingimusel, et muutujad x kuuluvad mõnda piirkonda G :

Sõltuvalt funktsiooni tüübist f(x) ja piirkonnad G ja eristada matemaatilise programmeerimise sektsioone: ruutprogrammeerimine, kumerprogrammeerimine, täisarvprogrammeerimine jne. Lineaarset programmeerimist iseloomustab asjaolu, et
a) funktsioon f(x) on muutujate lineaarne funktsioon x 1, x 2, … x n
b) piirkond G määrab süsteem lineaarne võrdsused või ebavõrdsused.

Loengud algebrast ja geomeetriast. 1. semester.

Loeng 9. Vektorruumi alused.

Kokkuvõte: vektorite süsteem, vektorite süsteemi lineaarne kombinatsioon, vektorite süsteemi lineaarse kombinatsiooni koefitsiendid, alus sirgel, tasapinnal ja ruumis, vektoriruumide mõõtmed sirgel, tasapinnal ja ruumis, dekomponeerimine vektor piki baasi, vektori koordinaadid baasi suhtes, võrduslause kaks vektorit, lineaartehted vektoritega koordinaatide tähistuses, vektorite ortonormaalne kolmik, vektorite parem- ja vasakkolmik, ortonormaalne alus, vektori algebra põhiteoreem.

Peatükk 9. Vektorruumi alused ja vektori lagunemine baasi suhtes.

punkt 1. Alusel sirgjoonel, tasapinnal ja ruumis.

Definitsioon. Igasugust lõplikku vektorite hulka nimetatakse vektorite süsteemiks.

Definitsioon. Väljend kus
nimetatakse vektorite süsteemi lineaarseks kombinatsiooniks
ja numbrid
nimetatakse selle lineaarse kombinatsiooni koefitsientideks.

Olgu L, P ja S vastavalt sirgjoon, tasapind ja punktide ruum ning
. Siis
– vektorite vektorruumid suunatud lõikudena vastavalt sirgel L, tasapinnal P ja ruumis S.

kutsutakse mis tahes nullist erinevat vektorit
, st. mis tahes nullist erinev vektor, mis on sirge L suhtes kollineaarne:
Ja
.

Aluse määramine
:
- alus
.

Definitsioon. Vektorruumi alused
on mis tahes järjestatud mittekollineaarsete vektorite paar ruumis
.

, Kus
,
- alus
.

Definitsioon. Vektorruumi alused
on ruumi mis tahes järjestatud kolmik mitte-tasapinnaliste vektorite (st ei asu samal tasapinnal)
.

- alus
.

Kommenteeri. Vektorruumi alus ei saa sisaldada nullvektorit: ruumis
määratluse järgi ruumis
kaks vektorit on ruumis kollineaarsed, kui vähemalt üks neist on null
kolm vektorit on tasapinnalised, st nad asuvad samal tasapinnal, kui vähemalt üks kolmest vektorist on null.

punkt 2. Vektori lagunemine baasi järgi.

Definitsioon. Lase - suvaline vektor,
– suvaline vektorite süsteem. Kui võrdsus kehtib

siis nad ütlevad, et vektor esitatakse antud vektorite süsteemi lineaarse kombinatsioonina. Kui antud vektorite süsteem
on vektorruumi alus, siis võrdsust (1) nimetatakse vektori lagunemiseks alusel
. Lineaarsed kombinatsiooni koefitsiendid
nimetatakse sel juhul vektori koordinaatideks aluse suhtes
.

Teoreem. (Vektori lagunemise kohta aluse suhtes.)

Iga vektorruumi vektorit saab laiendada selle baasiks ja pealegi ainulaadsel viisil.

Tõestus. 1) Olgu L suvaline sirge (või telg) ja
- alus
. Võtame suvalise vektori
. Kuna mõlemad vektorid Ja kollineaarne samale sirgele L, siis
. Kasutame teoreemi kahe vektori kollineaarsuse kohta. Sest
, siis on (olemas) selline arv
, Mida
ja seega saime vektori lagunemise alusel
vektorruum
.

Nüüd tõestame sellise lagunemise unikaalsust. Oletame vastupidist. Olgu vektoril kaks dekompositsiooni alusel
vektorruum
:

Ja
, Kus
. Siis
ja jaotusseadust kasutades saame:

Sest
, siis viimasest võrdsusest järeldub, et
, jne.

2) Olgu nüüd P suvaline tasapind ja
- alus
. Lase
selle tasandi suvaline vektor. Joonistame kõik kolm vektorit selle tasandi mis tahes punktist. Ehitame 4 sirget. Teeme otse , millel vektor asub , sirge
, millel vektor asub . Läbi vektori otsa tõmmake vektoriga paralleelne sirgjoon ja vektoriga paralleelne sirge . Need 4 sirget nikerdavad rööpküliku. Vaata allpool joon. 3. Rööpkülikureegli järgi
, Ja
,
,
- alus ,
- alus
.

Nüüd, selle tõestuse esimeses osas juba tõestatu kohaselt on sellised arvud olemas
, Mida

Ja
. Siit saame:

ja baasi laiendamise võimalus on tõestatud.

Nüüd tõestame laienduse unikaalsust aluse osas. Oletame vastupidist. Olgu vektoril kaks dekompositsiooni alusel
vektorruum
:
Ja
. Saame võrdsuse

Kust see tuleb?
. Kui
, See
, ja sellepärast
, See
ja laienduskoefitsiendid on võrdsed:
,
. Las see nüüd
. Siis
, Kus
. Kahe vektori kollineaarsuse teoreemist järeldub, et
. Oleme saanud vastuolu teoreemi tingimustega. Seega
Ja
, jne.

3) Lase
- alus
lase sel minna
suvaline vektor. Teostame järgmised konstruktsioonid.

Jätame kõrvale kõik kolm baasvektorit
ja vektor ühest punktist ja konstrueerida 6 tasapinda: tasapind, millel asuvad baasvektorid
, lennuk
ja lennuk
; edasi läbi vektori otsa Joonistame kolm tasandit paralleelselt kolme äsja konstrueeritud tasapinnaga. Need 6 tasapinda nikerdavad rööptahuka:

Kasutades vektorite liitmise reeglit, saame võrdsuse:

. (1)

Ehituse järgi
. Siit kahe vektori kollineaarsuse teoreemi põhjal järeldub, et on olemas arv
, selline, et
. Samamoodi
Ja
, Kus
. Nüüd, asendades need võrdsused (1), saame:

ja baasi laiendamise võimalus on tõestatud.

Tõestame sellise lagunemise unikaalsust. Oletame vastupidist. Olgu vektoril kaks dekompositsiooni alusel
:

JA . Siis

Pange tähele, et tingimuse järgi vektorid
mittekoplanaarsed, seega on nad paarikaupa mittekollineaarsed.

Võimalikud on kaks juhtumit:
või
.

a) Lase
, siis võrdsusest (3) järeldub:

. (4)

Võrdusest (4) järeldub, et vektor laieneb vastavalt alusele
, st. vektor asub vektortasandil
ja seega ka vektorid
koplanaarne, mis on tingimusega vastuolus.

b) Juhtum jääb alles
, st.
. Siis võrdsusest (3) saame või

Sest
on tasapinnal asuvate vektorite ruumi alus ja me oleme juba tõestanud tasandi vektorite baasi laienemise unikaalsust, siis võrdsusest (5) järeldub, et
Ja
, jne.

Teoreem on tõestatud.

Tagajärg.

1) Vektorruumi vektorite hulga vahel on üks-ühele vastavus
ja reaalarvude hulk R.

2) Vektorruumi vektorite hulga vahel on üks-ühele vastavus
ja Descartes'i väljak

3) Vektorruumi vektorite hulga vahel on üks-ühele vastavus
ja Descartes'i kuubik
reaalarvude komplekt R.

Tõestus. Tõestame kolmandat väidet. Kaks esimest on tõestatud sarnasel viisil.

Valige ja fikseerige ruumis
mingi alus
ja korraldada väljapanek
vastavalt järgmisele reeglile:

need. Iga vektori jaoks seostame selle koordinaatide järjestatud komplekti.

Kuna kindlal alusel on igal vektoril üks koordinaatide komplekt, on reegliga (6) määratud vastavus tõepoolest vastendus.

Teoreemi tõestusest järeldub, et erinevatel vektoritel on sama aluse suhtes erinevad koordinaadid, s.t. kaardistamine (6) on süstimine.

Lase
suvaline järjestatud reaalarvude hulk.

Mõelge vektorile
. Sellel konstruktsiooni vektoril on koordinaadid
. Järelikult on kaardistamine (6) surjektsioon.

Kaardistus, mis on nii injektiivne kui ka sürjektiivne, on bijektiivne, st. üks-ühele jne.

Uurimine on tõestatud.

Teoreem. (Kahe vektori võrdsuse kohta.)

Kaks vektorit on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende koordinaadid sama aluse suhtes on võrdsed.

Tõestus tuleneb vahetult eelmisest järeldusest.

punkt 3. Vektorruumi mõõde.

Definitsioon. Vektorruumi baasil olevate vektorite arvu nimetatakse selle dimensiooniks.

Määramine:
– vektorruumi V mõõde.

Seega on meil vastavalt sellele ja eelmistele määratlustele:

1)
– sirge L vektorite vektorruum.

- alus
,
,
,
– vektori lagunemine
alusel
,
– vektori koordinaat aluse suhtes
.

2)
– tasandi R vektorite vektorruum.

- alus
,
,
,
– vektori lagunemine
alusel
,
- vektori koordinaadid aluse suhtes
.

3)
– vektorite vektorruum punktide S ruumis.

- alus
,
,
– vektori lagunemine
alusel
,
- vektori koordinaadid aluse suhtes
.

Kommenteeri. Kui
, See
ja saate valida aluse
ruumi
Niisiis
- alus
Ja
- alus
. Siis
, Ja
, .

Seega saab mistahes sirge L, tasandi P ja ruumi S vektorit alusele laiendada
:

Määramine. Vektorite võrdsuse teoreemi alusel saame identifitseerida mis tahes vektori, millel on järjestatud reaalarvude kolmik, ja kirjutada:

See on võimalik ainult siis, kui alus
fikseeritud ja pole ohtu sassi minna.

Definitsioon. Vektori kirjutamist reaalarvude järjestatud kolmiku kujul nimetatakse vektori kirjutamise koordinaatvormiks:
.

punkt 4. Lineaartehted vektoritega koordinaatide tähistuses.

Lase
– ruumi alus
Ja
on kaks selle suvalist vektorit. Lase
Ja
– nende vektorite salvestamine koordinaatide kujul. Lase edasi,
on suvaline reaalarv. Seda tähistust kasutades kehtib järgmine teoreem.

Teoreem. (Koordinaadikujuliste vektoritega lineaarsete operatsioonide kohta.)

2)
.

Teisisõnu, kahe vektori liitmiseks tuleb lisada neile vastavad koordinaadid ja vektori arvuga korrutamiseks tuleb antud vektori iga koordinaat antud arvuga korrutada.

Tõestus. Kuna vastavalt teoreemi tingimustele, siis kasutades vektorruumi aksioome, mis juhivad vektorite liitmise ja vektori arvuga korrutamise toiminguid, saame:

See tähendab.

Teine võrdsus on tõestatud sarnaselt.

Teoreem on tõestatud.

punkt 5. Ortogonaalsed vektorid. Ortonormaalne alus.

Definitsioon. Kaht vektorit nimetatakse ortogonaalseteks, kui nendevaheline nurk on võrdne täisnurgaga, s.t.
.

Määramine:
- vektorid Ja ortogonaalne.

Definitsioon. Vektorite troika
nimetatakse ortogonaalseks, kui need vektorid on paarikaupa üksteise suhtes ortogonaalsed, st.
,
.

Definitsioon. Vektorite troika
nimetatakse ortonormaalseks, kui see on ortogonaalne ja kõigi vektorite pikkused on võrdsed ühega:
.

Kommenteeri. Definitsioonist järeldub, et vektorite ortogonaalne ja seega ka ortonormaalne kolmik on mittetasapinnaline.

Definitsioon. Järjestatud mittekoplanaarne vektorkolmik
ühest punktist joonistatud nimetatakse paremale (paremale orienteeritud), kui vaadeldakse kolmanda vektori lõpust tasapinnale, millel asuvad kaks esimest vektorit Ja , esimese vektori lühim pöörlemine teisele toimub vastupäeva. Vastasel juhul nimetatakse vektorite kolmikut vasakpoolseks (vasakule orienteeritud).

Siin, joonisel 6, on näidatud parempoolsed kolm vektorit
. Järgmine joonis 7 näitab vektorite vasakpoolset kolme
:

Definitsioon. Alus
vektorruum
nimetatakse ortonormaalseks, kui
vektorite ortonormaalne kolmik.

Määramine. Järgnevalt kasutame õiget ortonormaalset alust
, vaata järgmist joonist.

Lineaarne vektorite kombinatsioon on vektor
, kus λ 1, ..., λ m on suvalised koefitsiendid.

Vektorsüsteem
nimetatakse lineaarseks sõltuvaks, kui selle lineaarne kombinatsioon on võrdne , millel on vähemalt üks nullist erinev koefitsient.

Vektorsüsteem
nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui mõnes selle lineaarses kombinatsioonis on võrdne , kõik koefitsiendid on nullid.

Vektorsüsteemi alus
kutsutakse välja selle mittetühi lineaarselt sõltumatu alamsüsteem, mille kaudu saab väljendada süsteemi mis tahes vektorit.

Näide 2. Leidke vektorite süsteemi alus = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) ja väljenda ülejäänud vektorid aluse kaudu.

Lahendus: koostame maatriksi, milles nende vektorite koordinaadid on paigutatud veergudesse. Toome selle astmelisele kujule.

~
~
~
.

Selle süsteemi aluse moodustavad vektorid ,,, mis vastavad ringidena esile tõstetud joonte juhtivatele elementidele. Vektori väljendamiseks lahendage võrrand x 1 +x 2 + x 4 =. See taandub lineaarsete võrrandite süsteemiks, mille maatriks saadakse veeru algsest permutatsioonist, mis vastab , vabaliikmete veeru asemel. Seetõttu kasutame süsteemi lahendamiseks saadud maatriksit astmelisel kujul, tehes selles vajalikud ümberkorraldused.

Leiame järjekindlalt:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Märkus 1. Kui aluse kaudu on vaja väljendada mitut vektorit, siis igaühele neist koostatakse vastav lineaarvõrrandisüsteem. Need süsteemid erinevad ainult tasuta liikmete veergudes. Seetõttu saate nende lahendamiseks luua ühe maatriksi, millel on mitu vaba termini veergu. Pealegi lahendatakse iga süsteem teistest sõltumatult.

Märkus 2. Mis tahes vektori väljendamiseks piisab, kui kasutada ainult sellele eelneva süsteemi baasvektoreid. Sel juhul pole vaja maatriksit ümber vormindada, piisab vertikaalse joone õigesse kohta asetamisest.

Ülesanne 2. Leidke vektorite süsteemi alus ja väljendage ülejäänud vektorid aluse kaudu:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

3. Fundamentaalne lahenduste süsteem

Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks, kui kõik selle vabad liikmed on võrdsed nulliga.

Homogeense lineaarvõrrandisüsteemi põhilahenduste süsteem on selle lahenduste hulga aluseks.

Olgu meile antud ebahomogeenne lineaarvõrrandisüsteem. Antud süsteemiga seotud homogeenne süsteem on süsteem, mis saadakse antud süsteemist, asendades kõik vabad liikmed nullidega.

Kui ebahomogeenne süsteem on järjekindel ja määramatu, siis on selle suvaline lahend kujul f n +  1 f o1 + ... +  k f o k, kus f n on ebahomogeense süsteemi konkreetne lahend ja f o1, ... , f o k on seotud homogeense süsteemi fundamentaalsed süsteemilahendused.

Näide 3. Leidke näite 1 ebahomogeensele süsteemile konkreetne lahendus ja sellega seotud homogeense süsteemi põhilahenduste süsteem.

Lahendus. Kirjutame näites 1 saadud lahendi vektori kujul ja lagundame saadud vektori selles sisalduvate vabade parameetrite ja fikseeritud arvväärtuste summaks:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).

Saame f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Kommenteeri. Sarnaselt lahendatakse ka homogeensele süsteemile fundamentaalse lahendussüsteemi leidmise probleem.

Ülesanne 3.1 Leidke homogeense süsteemi põhilahenduste süsteem:

c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

Harjutus 3.2. Leidke ebahomogeensele süsteemile konkreetne lahendus ja sellega seotud homogeense süsteemi põhilahenduste süsteem:

Geomeetrias mõistetakse vektorit suunatud lõiguna ja üksteisest paralleeltranslatsiooni teel saadud vektoreid peetakse võrdseteks. Kõiki võrdseid vektoreid käsitletakse sama vektorina. Vektori alguspunkti saab paigutada mis tahes ruumi või tasapinna punkti.

Kui vektori otste koordinaadid on antud ruumis: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), siis

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Sarnane valem kehtib ka lennukil. See tähendab, et vektori saab kirjutada koordinaatjoonena. Tehted vektoritega, nagu liitmine ja arvuga korrutamine, stringidega sooritatakse komponentide kaupa. See võimaldab laiendada vektori mõistet, mõistes vektorit kui mis tahes arvujada. Näiteks lineaarvõrrandisüsteemi lahendust, aga ka süsteemi muutujate mis tahes väärtuste komplekti saab vaadelda vektorina.

Sama pikkusega stringidel tehakse liitmisoperatsioon reegli järgi

(a 1 , a 2 , … , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Stringi arvuga korrutamine järgib reeglit

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Etteantud pikkusega reavektorite hulk n koos näidatud vektorite liitmise ja arvuga korrutamise operatsioonidega moodustab algebralise struktuuri, mida nimetatakse n-mõõtmeline lineaarruum.

Lineaarne vektorite kombinatsioon on vektor , kus λ 1 , ... , λ m– suvalised koefitsiendid.

Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltuvaks, kui selle lineaarne kombinatsioon on võrdne , milles on vähemalt üks nullist erinev koefitsient.

Vektorite süsteemi nimetatakse lineaarselt sõltumatuks, kui mis tahes lineaarses kombinatsioonis, mis on võrdne , on kõik koefitsiendid nullid.

Seega taandub vektorisüsteemi lineaarse sõltuvuse küsimuse lahendamine võrrandi lahendamiseks

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Kui sellel võrrandil on nullist erinevad lahendid, siis on vektorite süsteem lineaarselt sõltuv. Kui nulllahendus on unikaalne, siis on vektorite süsteem lineaarselt sõltumatu.

Süsteemi (4) lahendamiseks saab selguse huvides kirjutada vektorid mitte ridadena, vaid veergudena.

Seejärel, olles sooritanud vasakpoolsed teisendused, jõuame võrrandiga (4) võrdväärse lineaarvõrrandi süsteemini. Selle süsteemi põhimaatriksi moodustavad algsete vektorite koordinaadid, mis on paigutatud veergudesse. Siin pole vabaliikmete kolonni vaja, kuna süsteem on homogeenne.

Alus vektorite süsteem (lõplik või lõpmatu, eriti kogu lineaarruum) on selle mittetühi lineaarselt sõltumatu alamsüsteem, mille kaudu saab väljendada süsteemi mis tahes vektorit.

Näide 1.5.2. Leidke vektorite süsteemi alus = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) ja väljendada ülejäänud vektorid aluse kaudu.

Lahendus. Koostame maatriksi, milles nende vektorite koordinaadid on paigutatud veergudesse. See on süsteemi maatriks x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Vähendame maatriksi astmelisele kujule:

~ ~ ~

Selle vektorite süsteemi aluse moodustavad vektorid , , , millele vastavad ringidena esile tõstetud ridade juhtelemendid. Vektori väljendamiseks lahendame võrrandi x 1 + x 2 + x 4 = . See taandub lineaarvõrrandisüsteemiks, mille maatriks saadakse originaalist, paigutades vabade terminite veeru asemele ümber väärtusele vastava veeru. Seetõttu tehakse maatriksil astmelisele kujule taandamisel samad teisendused nagu ülal. See tähendab, et saate saadud maatriksit kasutada astmeliselt, tehes selles vajalikud veergude ümberpaigutused: asetame veerud ringidega vertikaalse riba vasakule ja vektorile vastav veerg asetatakse paremale. baarist.

Leiame järjekindlalt:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Kommenteeri. Kui aluse kaudu on vaja väljendada mitut vektorit, siis igaühele neist konstrueeritakse vastav lineaarvõrrandisüsteem. Need süsteemid erinevad ainult tasuta liikmete veergudes. Pealegi lahendatakse iga süsteem teistest sõltumatult.

Harjutus 1.4. Leidke vektorite süsteemi alus ja väljendage ülejäänud vektorid aluse kaudu:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).

Teatud vektorite süsteemis saab baasi tavaliselt identifitseerida erineval viisil, kuid kõigil alustel on sama arv vektoreid. Lineaarruumi baasil olevate vektorite arvu nimetatakse ruumi dimensiooniks. Sest n-mõõtmeline lineaarruum n– see on ruumi mõõde, kuna sellel ruumil on standardbaas = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0) , ... , 1). Selle aluse kaudu on suvaline vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) väljendatakse järgmiselt:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a n .

Seega komponendid vektori reas = (a 1 , a 2 , … , a n) on selle koefitsiendid laienduses läbi standardaluse.

Sirged jooned tasapinnal

Analüütilise geomeetria ülesanne on koordinaatide meetodi rakendamine geomeetriliste ülesannete lahendamisel. Seega tõlgitakse ülesanne algebraliseks vormiks ja lahendatakse algebra abil.